Nulidad de pleno derecho
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Nulidad de pleno derecho online
Sea T una transformación lineal de un espacio vectorial de m dimensiones X a un espacio vectorial de n dimensiones Y, y sea x1, x2, x3, …, xm una base de X y sea y1, y2, y3, …, yn una base de Y, y considere su correspondiente matriz n × m,
lo que implica que el rango de T es el espacio vectorial abarcado por los vectores T(xi) que está indicado por las columnas de la matriz. Por un teorema demostrado anteriormente, la dimensión del espacio vectorial abarcado por esos vectores es igual al número máximo de vectores que son linealmente independientes. Como la dependencia lineal de las columnas de la matriz es la misma que la dependencia lineal de los vectores T(xi), la dimensión es igual al número máximo de columnas que son linealmente independientes, que es igual al rango. Tenemos la siguiente conclusión importante:
Es fácil demostrar que el espacio nulo es de hecho un espacio vectorial. Si identificamos una matriz de n x 1 columnas con un elemento del espacio euclidiano de n dimensiones, el espacio nulo se convierte en su subespacio con las operaciones habituales. El espacio nulo también puede tratarse como un subespacio del espacio vectorial de todas las matrices de columna n x 1 con la suma de matrices y la multiplicación escalar de una matriz como las dos operaciones.
Teorema de nulidad de rango
Sea A una matriz. Recordemos que la dimensión de su espacio de columnas (y del espacio de filas) se llama rango de A. La dimensión de su espacio nulo se llama nulidad de A. La conexión entre estas dimensiones se ilustra en el siguiente ejemplo.
Con sólo tres filas no nulas en la matriz de coeficientes, en realidad sólo hay tres restricciones sobre las variables, dejando 5 – 3 = 2 de las variables libres. Sean x 4 y x 5 las variables libres. Entonces la tercera fila de A′ implica
Obsérvese en particular que el número de variables libres -el número de parámetros en la solución general- es la dimensión del espacio nulo (que es 2 en este caso). Además, el rango de esta matriz, que es el número de filas no nulas en su forma escalonada, es 3. La suma de la nulidad y el rango, 2 + 3, es igual al número de columnas de la matriz.
La relación entre el rango y la nulidad de una matriz, ilustrada en el ejemplo anterior, es válida para cualquier matriz: El teorema del rango más la nulidad. Sea A una matriz de m por n, con rango r y nulidad ℓ. Entonces r + ℓ = n; es decir,
Definir el rango y la nulidad de una matriz con un ejemplo
Sea \(T:V a W\) un mapa lineal entre espacios vectoriales sobre un campo \(F.\) Hemos definido el núcleo de \(T\), \(\ker(T)=\Nnulo(T)\Ntexto{,}) (también llamado espacio nulo) y hemos observado que es un subespacio del dominio \(V.\) La imagen de \(T\), \(\Im(T),\) es un subespacio del codominio \(W.\)
Consideremos en primer lugar el caso de que \NT sea inyectiva. Esto significa que \(\ker(T) = \{0}\texto{,}\) por lo que \(\nullity(T) = 0\texto{,}\}) Por la Proposición 4.1.3, el conjunto \(\{T(v_1), \dots, T(v_n)\}) es linealmente independiente, y como este conjunto abarca \(\m(T)\text{,}\} es una base para \(\m(T)\text{,}\} por lo que su cardinalidad es igual a la dimensión de la imagen, es decir, \(\rank(T).\}. Por lo tanto, \(\rank(T)=ntexto{,}) y vemos que
Consideremos ahora el caso en el que \(\ker(T) \ne {0}\text{,}\}) Sea \(\{u_1, \dots, u_k}) una base para \(\ker(T)\text{,}\}, por lo tanto \(\nullity(T) = k.\} Dado que \(\{u_1, \dots, u_k}} es un conjunto linealmente independiente, por [referencia cruzada provisional: prop-extend-independent-set-to-basis], se puede extender a una base para \(V\text{:}\}
Teorema de rango-nulidad
El teorema de rango-nulidad es un teorema del álgebra lineal que afirma que la dimensión del dominio de un mapa lineal es la suma de su rango (la dimensión de su imagen) y su nulidad (la dimensión de su núcleo)[1][2][3][4].
Mientras que el teorema requiere que el dominio del mapa lineal sea de dimensión finita, no existe tal suposición sobre el codominio. Esto significa que hay mapas lineales no dados por matrices para los que se aplica el teorema. A pesar de ello, la primera demostración no es en realidad más general que la segunda: puesto que la imagen del mapa lineal es de dimensión finita, podemos representar el mapa de su dominio a su imagen mediante una matriz, demostrar el teorema para esa matriz, y luego componer con la inclusión de la imagen en el codominio completo.
{\a6}*Matriz de dominio {Im}*Matriz de imagen T=\Nnombredeloperador {Span} T({\mathcal {B}})=operador {Span} \T(v_{1}),\ldots ,T(v_{k}),T(w_{1}),\ldots ,T(w_{n-k})\nd =operatorname {Span} \T(w_{1}),\ldots ,T(w_{n-k})\N=nombre del operador {Span} T({\mathcal {S})}